muhamad gunawan

Just another WordPress.com site

Pertemuan Kedelapan ( KEMENCENGAN ATAU KEMIRINGAN (SKEWNESS) )

Kemencengan atau kemiringan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.
Berikut ini gambar kurva dari disribusi yang menceng ke kanan (menceng positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut:

Cara Pertama : Dengan Koefisien Kemiringan Pearson

Koefisien kemiringan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien kemiringan Pearson dirumuskan:

Keterangan:
koefisien kemenangan Pearson
Apabila secara empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:

Maka rumus kemencengan di atas dapat diubah menjadi

Jika nilai dihubungkan dengan keadaan kurva maka diperoleh:
•  kurva memiliki bentuk simetris
•  nilai-niai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak di sebelah kanan , sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;
•  nilai-niai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di sebelah kiri , sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.
Contoh: Tabel 4. 5 Nilai Ujian Statistik Semester II STMIK Raharja tahun 2010
Nilai Ujian Frekuensi
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100 4
3
5
8
11
7
2
Jumlah 40

Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemiringannya serta gambar grafiknya!

Nilai
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100 35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5 4
3
5
8
11
7
2 -4
-3
-2
-1
0
1
2 16
9
4
1
0
1
4 -16
-9
-10
-8
0
7
4 64
27
20
8
0
7
8
Jumlah 40 -32 134

1.

2.

Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46 atau -0,56) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.

Gambar 4.2. Kurva miring ke kiri untuk nilai ujian statistik 40 mahasiswa.

Cara Kedua: Dengan Koefisien Kemiringan Bowley

Bowley juga telah mengembangkan rumus yang cukup sederhana untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data, dengan menggunakan nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. Dengan kata lain perhitungan koefisien kemiringan Bowley didasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi. Koefisien kemiringan Bowley dirumuskan:
Dimana:
koefisien kemencengan Bowley
kuartil
Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien Kemencengan. Apabila nilai dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan:
• Jika maka distrtibusi akan menceng ke kanan atau menceng secara positif.
• Jika maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara negatif.
• positif, berarti distribusi menceng ke kanan.
• negatif, berarti distribusi menceng ke kiri.
• menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan menggambarkan kurva yang menceng berarti.
Contoh : Tentukan kemiringan kurva dari distribusi frekuensi berikut!
Tabel 4. 6. Nilai Ujian Aljabar Linear I Dari 111 Mahasiswa Raharja.
Nilai Ujian Frekuensi
20.00 – 29,99
30,00 – 39,99
40,00 – 49,99
50,00 – 59,99
60,00 – 69,99
70,00 – 79,99 4
9
25
40
28
5
Jumlah 111
Jawab:
Kelas kelas ke-3

Kelas kelas ke-4

Kelas kelas ke-5

Karena negatif (=-0,06), kurva miring ke kiri dengan kemencengan yang berarti.
Cara Ketiga : Dengan Koefisien Kemiringan Persentil

Koefisien kemencengan persentil didasarkan atas hubungan antarpersentil dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan persentil dirumuskan:

Keterangan:
koefisien kemencengan persentil
persentil
Contoh :Tentukan nilai dari distribusi frekuensi berikut!
Tabel 4.7. Besarnya Gaji 65 Karyawan Perusahaan Argo Pantes
Gaji (ratusan ribu / minggu) Frekuensi
250,00 – 259,99
260,00 – 269,99
270,00 – 279,99
280,00 – 289,99
290,00 – 299,99
300,00 – 309,99
310,00 – 319,99 8
10
16
14
10
5
2
Jumlah 65
Jawab:
Kelas kelas ke-6

Kelas kelas ke-3

Kelas kelas ke-1

Cara Keempat: Dengan Koefisien Kemencengan Momen

Cara lain yang digunakan untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data adalah dengan menggunakan rumus koefisien kemiringan momen atau rumus momen berderajat tiga. Koefisien kemencengan momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku. Koefisien kemencengan momen dilambangkan dengan Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.
Apabila nilai dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan:
• Untuk distribusi simetris (normal), nilai
• Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai
• Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai
• Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki adalah distribusi yang sangat menceng.
• Menurut Kenney dan Keeping, nilai bervariasi antara bagi distribusi yang menceng.
Untuk mencari nilai , dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

Untuk data tunggal

Koefisien kemencengan momen untuk data tunggal dirumuskan:

Keterangan:
koefisien kemencengan momen
Contoh : Tentukan nilai dari data: 2, 3, 5, 9, 11!
Jawab:

2
3
5
9
11 -4
-3
-1
3
5 16
9
1
9
25 64
27
1
27
125
Jumlah – 60 244

Untuk data berkelompok

Koefisien kemiringan momen untuk data berkelompok dirumuskan:

atau

Dalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktif dan lebih mudah perhitungannya.
Contoh: Tentukan tingkat kemiringan dari distribusi frekuensi di bawah ini!

Tabel 4.8. Data Usia Peserta Keluarga Berencana DI 10 Klinik.

Usia Peserta Frekuensi
15 – 19
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44 1
29
43
41
24
12
Jumlah 150

Jawab:
Usia
15 – 19
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44 17
22
27
32
37
42 1
29
43
41
24
12 -2
-1
0
1
2
3 -2
-29
0
41
48
36 4
29
0
41
96
108 -8
-29
0
41
192
324
Jumlah – 150 – 94 278 520

Jika digunakan rumus pertama maka mencari maka hasilnya akan sama. Dari perhitungan-perhitungan didapat:
KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA(KURTOSIS)

Satu lagi yang perlu kita pelajari dari statistika deskriptif, yaitu keruncingan distribusi data. Ukuran keruncingan distribusi data adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Dengan kata lain, keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingan, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut:
• Leptokurtik. Leptokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.
• Platikurtik. Platikurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak hamper mendatar.
• Mesokurtik. Mesokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.
Bila distrilbusinya merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal.
Gambar 4.3. Keruncingan kurva

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan adalah koefisien keruncingan dan koefisien kurtosis persentil.

Koefisien Keruncingan
Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh:
• Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi platikurtik;
• Nilai lebih besar dari 3, maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik;
• Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik.
Nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

Untuk data tunggal:
Contoh :Tentukan keruncingan kurva dari data: 2, 3, 6, 8, 11!
Jawab:

2
3
6
8
11 -4
-3
0
2
5 256
81
0
16
625
Jumlah 0 978

Karena nilainya lebih kecil dari 3 = (1,08) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.

Untuk data berkelompok
Contoh : Berikut ini distrbusi frekuensi dari pengukuran diameter pipa.
Diameter (mm) Frekuensi
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82 2
5
13
14
4
2
Jumlah 40

Tentukan nilai koefisien keruncingannya dan bentuknya serta gambarkan grafiknya!
Jawab: Dari perhitungan diperoleh nilai

66
69
72
75
78
81 2
5
13
14
4
2 -7,425
- 4,425
-1,425
1,575
4,575
7,575 3.039,3858
383,4009
4,1234
6,1535
438,0911
3.292,5361 6.078,7716
1.917,0044
53,6047
86,1490
1.752,3642
6.585,0722
Jumlah 40 – – 16.472,9661

Dengan rumus kedua, perhitungan adalah sebagai berikut.
Diameter
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82 66
69
72
75
78
81 2
5
13
14
4
2 -3
-2
-1
0
1
2 9
4
1
0
1
4 -27
-8
-1
0
1
8 81
16
1
0
1
16 -6
-10
-13
0
4
4 18
20
13
0
4
8 -54
-40
-13
0
4
16 162
80
13
0
4
32
Jumlah 40 -21 63 -87 291

Karena nilainya hampir sama atau sama dengan 3 maka bentuk kurvanya adalah mesokurtik.
Gambar grafiknya adalah:
Gambar 4.4. Keruncingan kurva bagi diameter pipa
Koefisien Kurtosis Persentil

Koefisien kurtosis Persentil dilambangkan dengan (kappa). Untuk distribusi normal, nilai Koefisien kurtosis Persentil, dirumuskan:

Contoh : Berikut tabel distribusi frekuensi tinggi 100 mahasiswa STMIK Raharja. Tentukan koefisien kurtosis persentil dan tentukan pula apakah distribusinya termasuk distribusi normal?

Tinggi (inci) Frekuensi
60 – 62
63 – 65
66 – 68
69 – 71
72 – 74 5
18
42
27
8
Jumlah 100
Jawab:
Kelas kelas ke-3

Kelas kelas ke-4

Kelas kelas ke-2

Kelas kelas ke-4

Karena nilai maka distribusinya bukan distribusi normal.

BILANGAN

Z-Skor merupakan suatu konsep bilangan yang banyak dipergunakan untuk memecahkan berbagai masalah statistik. Z-skor menunjukkan perbandingan penyimpangan sebuah skor dari rata-rata hitung terhadap simpangan baku. Dari sampel yang berukuran data dengan rata-rata dari simpangan baku , dapat dibentuk data baru, yaitu dengan menggunakan bilangan . Nilai dapat dicari dengan rumus:

Variabel (data baru) , ternyata memiliki rata-rata 0 dan simpangan baku 1. Dalam penggunaannya, bilangan sering diubah menjadi distribusi yang baru dengan rata-rata dan simpangan baku Angka yang diperoleh dengan cara itu disebut angka standar atau angka baku, dengan rumus:

Jika dan maka:

Jadi, angka menjadi bilangan standar atau bilangan baku, atau bilangan z.
Contoh :D iketahui data 5, 4, 8, 7, 1. Buatlah data baru dengan menggunakan bilangan buktikan bahwa data baru memiliki rata-rata 0 dan s = 1 !
Penyelesaian: dan

5
4
8
7
1 0
-1
3
2
-4 0
1
9
4
16

Data baru yang terbentuk adalah

Rata-rata dan simpangan bakunya adalah
0
-0,365
1,095
0,730
-1,460 0
-0,365
1,095
0,730
-1,460 0
0,133
1,199
0,533
2,132
jumlah 4 (dibulatkan)
Contoh soal:
Dua perusahan A dan B masing-masing memperoleh laba sebesar Rp45.000,00 dan Rp37.500,00 dalam bulan yang sama. Jika laba rata-rata perusahaan A sebesar Rp32.000,00 dengan simpangan baku Rp8.500,00 dan perusahaan B sebesar Rp26.000,00 dengan simpangan baku Rp5.500,00 perusahaan manakah yang memiliki prestasi lebih baik?

Jawab:

Dengan memperhatikan bilanan pada masing-masing perusahaan, dapat diambil kesimpulan bahwa perusahaan B memiliki prestasi yang lebih baik daripada perusahaan A. hal itu disebabkan nilai untuk berusahaan B lebih besar daripada nilai untuk perusahaan A. Jika nilai-nilai di atas diubah ke dalam angka baku dengan rata-rata Rp29.000,00 dan simpangan baku Rp7.000,00 maka:
Untuk perusahaan

Untuk perusahaan

Jadi, berdasarkan distribusi baru di atas, perusahaan B memperlihatkan nilai yang lebih tinggi (Rp43.630,00) dibandingkan dengan perusahaan A (Rp39.710,00).
Evaluasi Pertemuan 6, Pertemuan 7 dan Pertemuan 8
1. Apa yang dimaksud dengan:
• Jangkauan dan jangkauan antarkuartil
• Dispersi absolut dan dispersi relatif.
• Varians dan simpangan baku.
• Koefisien variasi

2. Terangkah dengan singkat kegunaan dari ukuran dispersi absolut dan dispersi relatif!

3. a. Apa yang dimaksud dengan derajat kemiringan distribusi data?.
b. Sebutkan jenis-jenis derajat kemiringan distribusi data?.
c. Berikan penjelasan mengenai keterkaitan antara derajat kemiringan distribusi
data dengan letak rata-rata hitung, median dan modus?.
d. Sebutkan beberapa cara untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data?
4. a. Apa yang dimaksud dengan kurtosis?.
b. Sebutkan dan jelaskan jenis-jenis derajat keruncingan distribusi data?.
5. Diketahui dua kelompok data berikut:
Kelompok data 1 : 7, 4, 10, 9, 15, 12, 12, 7, 9, 7
Kelompok data 2 : 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7
Untuk masing-masing kelompok data tersebut:
a. Tentukanlah:
(1) Simpangan rata-rata;
(2) Variansi;
(3) Standar deviasi;
(4) Koefisien variasi!
b. Tentukanlah derajat kemiringan distribusi data tersebut dan jenis kemiringan dengan cara berikut:
(1) Koefisien kemiringan Pearson
(2) Koefisien kemiringan momen berderajat tiga
(3) Koefisien kemiringan Bowley

4. Jumlah kecelakaan pada pabrik ditunjukkan pada tabel berikut.
Rata-Rata Kecelakaan Jumlah Pabrik
1,5 – 1,7
1,8 – 2,0
2,1 – 2,3
2,4 – 2,6
2,7 – 2,9
3,0 – 3,2 3
12
14
9
7
5
Jumlah 50

a. Tentukan koefisien variasinya!
b. Tentukan kemencengan dan jenis kurvanya!
c. Tentukan keruncingan dan jenis kurvanya!

5. Tentukan jarak, simpangan kuartil, deviasi rata-rata, varians, dan simpangan baku dari data-data berikut!
a. 7, 4, 5, 3, 8, 6, 7
b. 8,772; 6,453; 10,163; 8,542; 9,635; 6,325
c. -3, -2, -5, -6, -8, -1, -3, -7
d. .
Kelas Frekuensi
600 – 699
700 – 799
800 – 899

5
15
24
46
33
16
11

6. Seorang pengamat ekonomi ingin meneliti dampak krisis ekonomi terhadap pendapatan masyarakat di Kabupaten Pasuruan. Untuk itu diambil sampel secara acak masing-masing sebanyak 16 rumah tangga di dua desa dan ditanya berapa pendapatan per minggunya. Data hasil penelitian di dua desa tersebut (dalam ribuan rupiah) adalah sebagai berikut:
Penduduk desa I : 19 18 18 19 18 19 19 18
18 19 17 20 16 17 22 18
Penduduk desa II: 18 17 17 18 18 17 18 17
17 18 18 19 20 21 20 17
Berdasarkan data tersebut, tentukanlah:
a. Rata-rata dan standar deviasi pendapatan rumah tangga di desa tersebut.
b. Koefisien variasi dua kelompok data tersebut.
c. Penduduk desa mana yang mempunyai pendapatan lebih merata.

7. Sebuah lampu pijar memiliki rata-rata pemakaian 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu pijar lain memiliki rata-rata pemakaian 9.000 jam dengan simpangan baku 2.000 jam.
a. Tentukan koefisien variasi kedua lampu tersebut!
b. Yang manakah dari kedua lampu itu yang memiliki variasi ketahanan lebih baik?

8. Seorang mahasiswa mendapat nilai 85 pada ujian akhir statistik dengan rata-rata dan simpangan baku kelompok 78 dan 10. Ujian akhir matematika dengan rata-rata dan simpangan baku kelompok masing-masing 82 dan 16, ia mendapat nilai 90. Pada mata ujian manakah, mahasiswa tersebut mencapai kedudukan lebih baik?

9. Dari data berikut : 2, 8, 10, 4, 1
a. Buat data baru dengan menggunakan bilangan Z !
b. Buktikan bahwa data baru memiliki rata-rata 0 dan simpangan baku 1 !

10. Dua kelompok mahasiswa, kelompok I sebanyak 16 orang dan kelompok II sebanyak 15 orang, mendapat nilai statistik I, sebagai berikut:
Kelompok I = 25 30 45 48 50 60 65 70 74 78 80 85 91 92 94 95
Kelompok II = 20 36 45 50 50 51 52 54 60 65 66 68 67 80 95
Periksalah, apakah di antara kedua kelompok nilai tersebut terdapat nilai pencilan?

11. Apabila:

Tentukan

12. Dengan menggunakan distribusi frekuensi berikut:
Kelas Frekuensi
0 – 4
5 – 9
10 – 14
15 – 19
20 – 24 2
7
12
6
3

a. Tentukan jaraknya.
b. Hitung deviasi standarnya.
c. Berapa variansnya.

13. Dengan menggunakan data soal Nomor 12.
a. Berapa nilai kuartil pertama.
b. Berapa nilai kuartil ketiga.
c. Berapa jarak inter-kuartil.
d. Berapa deviasi kuartilnya.

14. Dengan menggunakan data soal nomor 12.
a. Berapa nilai koefisien variasinya.
b. Berapa nilai koefisien kemiringannya.
c. Berapa nilai koefisien keruncingannya.
Soal nomor 15 – 18 didasarkan pada statistik hasil pengukuran daya regangan kawat 2 perusahaan A dan B sebagai berikut:
Statistik Perusahaan A Perusahaan B
Rata-rata hitung 500 600
Median 500 500
Modus 500 300
Deviasi standar 40 20
Deviasi rata-rata 32 16
Deviasi kuartil 25 14
Jarak 240 120
Banyaknya sampel 100 80

15. Berapa nilai koefisien variasi perusahaan A dan B?.

16. Distribusi perusahaan mana yang mempunyai dispersi yang besar? Jelaskan.

17. Berapa varians distribusi perusahaan A dan B?.

18. 50 % kawat perusahaan A, kira-kira berada di antara dua nilai berapa?.

19. Persentase penduduk berumur 10 tahun ke atas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu.
Jam Kerja Persentase
0 – 9
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69 2
6
22
27
23
15
5

a. Carilah rata-rata, median, dan modus jam kerja.
b. Hitung tingkat kemiringan dan keruncingan.

20. Perhatikan tabel berikut !
Nilai
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100 1
2
5
15
25
20
12 35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
Jumlah 80 -

Buatlah nilai ujian menjadi angka baku!

21. Tentukan kemencengan dan keruncingan distribusi frekuensi berikut, gunakan rumus koefisien kemencengan momen!
Berat Badan Frekuensi
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69 4
9
12
10
9
8
3

Kemencengan atau kemiringan (skewness) adalah tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetri dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan kurvanya akan menceng. Jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kanan daripada yang ke kiri maka distribusi disebut menceng ke kanan atau memiliki kemencengan positif. Sebaliknya, jika distribusi memiliki ekor yang lebih panjang ke kiri daripada yang ke kanan maka distribusi disebut menceng ke kiri atau memiliki kemencengan negatif.
Berikut ini gambar kurva dari disribusi yang menceng ke kanan (menceng positif) dan menceng ke kiri (menceng negatif).

Untuk mengetahui bahwa konsentrasi distribusi menceng ke kanan atau menceng ke kiri, dapat digunakan metode-metode berikut:

Cara Pertama : Dengan Koefisien Kemiringan Pearson

Koefisien kemiringan Pearson merupakan nilai selisih rata-rata dengan modus dibagi simpangan baku. Koefisien kemiringan Pearson dirumuskan:

Keterangan:
koefisien kemenangan Pearson
Apabila secara empiris didapatkan hubungan antarnilai pusat sebagai:

Maka rumus kemencengan di atas dapat diubah menjadi

Jika nilai dihubungkan dengan keadaan kurva maka diperoleh:
•  kurva memiliki bentuk simetris
•  nilai-niai terkonsentrasi pada sisi sebelah kanan ( terletak di sebelah kanan , sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kanan, kurva menceng ke kanan atau menceng positif;
•  nilai-niai terkonsentrasi pada sisi sebelah kiri ( terletak di sebelah kiri , sehingga kurva memiliki ekor memanjang ke kiri, kurva menceng ke kiri atau menceng negatif.
Contoh: Tabel 4. 5 Nilai Ujian Statistik Semester II STMIK Raharja tahun 2010
Nilai Ujian Frekuensi
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100 4
3
5
8
11
7
2
Jumlah 40

Tentukan nilai sk dan ujilah arah kemiringannya serta gambar grafiknya!

Nilai
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100 35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5 4
3
5
8
11
7
2 -4
-3
-2
-1
0
1
2 16
9
4
1
0
1
4 -16
-9
-10
-8
0
7
4 64
27
20
8
0
7
8
Jumlah 40 -32 134

1.

2.

Oleh karena nilai sk-nya negatif (-0,46 atau -0,56) maka kurvanya menceng ke kiri atau menceng negatif.

Gambar 4.2. Kurva miring ke kiri untuk nilai ujian statistik 40 mahasiswa.

Cara Kedua: Dengan Koefisien Kemiringan Bowley

Bowley juga telah mengembangkan rumus yang cukup sederhana untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data, dengan menggunakan nilai kuartil bawah, kuartil tengah, dan kuartil atas. Dengan kata lain perhitungan koefisien kemiringan Bowley didasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi. Koefisien kemiringan Bowley dirumuskan:
Dimana:
koefisien kemencengan Bowley
kuartil
Koefisien kemencengan Bowley sering juga disebut Kuartil Koefisien Kemencengan. Apabila nilai dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan:
• Jika maka distrtibusi akan menceng ke kanan atau menceng secara positif.
• Jika maka distribusi akan menceng ke kiri atau menceng secara negatif.
• positif, berarti distribusi menceng ke kanan.
• negatif, berarti distribusi menceng ke kiri.
• menggambarkan distribusi yang menceng tidak berarti dan menggambarkan kurva yang menceng berarti.
Contoh : Tentukan kemiringan kurva dari distribusi frekuensi berikut!
Tabel 4. 6. Nilai Ujian Aljabar Linear I Dari 111 Mahasiswa Raharja.
Nilai Ujian Frekuensi
20.00 – 29,99
30,00 – 39,99
40,00 – 49,99
50,00 – 59,99
60,00 – 69,99
70,00 – 79,99 4
9
25
40
28
5
Jumlah 111
Jawab:
Kelas kelas ke-3

Kelas kelas ke-4

Kelas kelas ke-5

Karena negatif (=-0,06), kurva miring ke kiri dengan kemencengan yang berarti.
Cara Ketiga : Dengan Koefisien Kemiringan Persentil

Koefisien kemencengan persentil didasarkan atas hubungan antarpersentil dari sebuah distribusi. Koefisien kemencengan persentil dirumuskan:

Keterangan:
koefisien kemencengan persentil
persentil
Contoh :Tentukan nilai dari distribusi frekuensi berikut!
Tabel 4.7. Besarnya Gaji 65 Karyawan Perusahaan Argo Pantes
Gaji (ratusan ribu / minggu) Frekuensi
250,00 – 259,99
260,00 – 269,99
270,00 – 279,99
280,00 – 289,99
290,00 – 299,99
300,00 – 309,99
310,00 – 319,99 8
10
16
14
10
5
2
Jumlah 65
Jawab:
Kelas kelas ke-6

Kelas kelas ke-3

Kelas kelas ke-1

Cara Keempat: Dengan Koefisien Kemencengan Momen

Cara lain yang digunakan untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data adalah dengan menggunakan rumus koefisien kemiringan momen atau rumus momen berderajat tiga. Koefisien kemencengan momen didasarkan pada perbandingan momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku. Koefisien kemencengan momen dilambangkan dengan Koefisien kemencengan momen disebut juga kemencengan relatif.
Apabila nilai dihubungkan dengan keadaan kurva, didapatkan:
• Untuk distribusi simetris (normal), nilai
• Untuk distribusi menceng ke kanan, nilai
• Untuk distribusi menceng ke kiri, nilai
• Menurut Karl Pearson, distribusi yang memiliki adalah distribusi yang sangat menceng.
• Menurut Kenney dan Keeping, nilai bervariasi antara bagi distribusi yang menceng.
Untuk mencari nilai , dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

Untuk data tunggal

Koefisien kemencengan momen untuk data tunggal dirumuskan:

Keterangan:
koefisien kemencengan momen
Contoh : Tentukan nilai dari data: 2, 3, 5, 9, 11!
Jawab:

2
3
5
9
11 -4
-3
-1
3
5 16
9
1
9
25 64
27
1
27
125
Jumlah – 60 244

Untuk data berkelompok

Koefisien kemiringan momen untuk data berkelompok dirumuskan:

atau

Dalam pemakaiannya, rumus kedua lebih praktif dan lebih mudah perhitungannya.
Contoh: Tentukan tingkat kemiringan dari distribusi frekuensi di bawah ini!

Tabel 4.8. Data Usia Peserta Keluarga Berencana DI 10 Klinik.

Usia Peserta Frekuensi
15 – 19
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44 1
29
43
41
24
12
Jumlah 150

Jawab:
Usia
15 – 19
20 – 24
25 – 29
30 – 34
35 – 39
40 – 44 17
22
27
32
37
42 1
29
43
41
24
12 -2
-1
0
1
2
3 -2
-29
0
41
48
36 4
29
0
41
96
108 -8
-29
0
41
192
324
Jumlah – 150 – 94 278 520

Jika digunakan rumus pertama maka mencari maka hasilnya akan sama. Dari perhitungan-perhitungan didapat:
KERUNCINGAN DISTRIBUSI DATA(KURTOSIS)

Satu lagi yang perlu kita pelajari dari statistika deskriptif, yaitu keruncingan distribusi data. Ukuran keruncingan distribusi data adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Dengan kata lain, keruncingan atau kurtosis adalah tingkat kepuncakan dari sebuah distribusi yang biasanya diambil secara relatif terhadap suatu distribusi normal. Berdasarkan keruncingan, kurva distribusi dapat dibedakan atas tiga macam, yaitu sebagai berikut:
• Leptokurtik. Leptokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak relatif tinggi.
• Platikurtik. Platikurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak hamper mendatar.
• Mesokurtik. Mesokurtik merupakan distribusi yang memiliki puncak tidak tinggi dan tidak mendatar.
Bila distrilbusinya merupakan distribusi simetris maka distribusi mesokurtik dianggap sebagai distribusi normal.
Gambar 4.3. Keruncingan kurva

Untuk mengetahui keruncingan suatu distribusi, ukuran yang sering digunakan adalah koefisien keruncingan dan koefisien kurtosis persentil.

Koefisien Keruncingan
Koefisien keruncingan atau koefisien kurtosis dilambangkan dengan (alpha 4). Jika hasil perhitungan koefisien keruncingan diperoleh:
• Nilai lebih kecil dari 3, maka distribusinya adalah distribusi platikurtik;
• Nilai lebih besar dari 3, maka distribusinya adalah distribusi leptokurtik;
• Nilai yang sama dengan 3, maka distribusinya adalah distribusi mesokurtik.
Nilai koefisien keruncingan, dibedakan antara data tunggal dan data berkelompok.

Untuk data tunggal:
Contoh :Tentukan keruncingan kurva dari data: 2, 3, 6, 8, 11!
Jawab:

2
3
6
8
11 -4
-3
0
2
5 256
81
0
16
625
Jumlah 0 978

Karena nilainya lebih kecil dari 3 = (1,08) maka distribusinya adalah distribusi platikurtik.

Untuk data berkelompok
Contoh : Berikut ini distrbusi frekuensi dari pengukuran diameter pipa.
Diameter (mm) Frekuensi
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82 2
5
13
14
4
2
Jumlah 40

Tentukan nilai koefisien keruncingannya dan bentuknya serta gambarkan grafiknya!
Jawab: Dari perhitungan diperoleh nilai

66
69
72
75
78
81 2
5
13
14
4
2 -7,425
- 4,425
-1,425
1,575
4,575
7,575 3.039,3858
383,4009
4,1234
6,1535
438,0911
3.292,5361 6.078,7716
1.917,0044
53,6047
86,1490
1.752,3642
6.585,0722
Jumlah 40 – – 16.472,9661

Dengan rumus kedua, perhitungan adalah sebagai berikut.
Diameter
65 – 67
68 – 70
71 – 73
74 – 76
77 – 79
80 – 82 66
69
72
75
78
81 2
5
13
14
4
2 -3
-2
-1
0
1
2 9
4
1
0
1
4 -27
-8
-1
0
1
8 81
16
1
0
1
16 -6
-10
-13
0
4
4 18
20
13
0
4
8 -54
-40
-13
0
4
16 162
80
13
0
4
32
Jumlah 40 -21 63 -87 291

Karena nilainya hampir sama atau sama dengan 3 maka bentuk kurvanya adalah mesokurtik.
Gambar grafiknya adalah:
Gambar 4.4. Keruncingan kurva bagi diameter pipa
Koefisien Kurtosis Persentil

Koefisien kurtosis Persentil dilambangkan dengan (kappa). Untuk distribusi normal, nilai Koefisien kurtosis Persentil, dirumuskan:

Contoh : Berikut tabel distribusi frekuensi tinggi 100 mahasiswa STMIK Raharja. Tentukan koefisien kurtosis persentil dan tentukan pula apakah distribusinya termasuk distribusi normal?

Tinggi (inci) Frekuensi
60 – 62
63 – 65
66 – 68
69 – 71
72 – 74 5
18
42
27
8
Jumlah 100
Jawab:
Kelas kelas ke-3

Kelas kelas ke-4

Kelas kelas ke-2

Kelas kelas ke-4

Karena nilai maka distribusinya bukan distribusi normal.

BILANGAN

Z-Skor merupakan suatu konsep bilangan yang banyak dipergunakan untuk memecahkan berbagai masalah statistik. Z-skor menunjukkan perbandingan penyimpangan sebuah skor dari rata-rata hitung terhadap simpangan baku. Dari sampel yang berukuran data dengan rata-rata dari simpangan baku , dapat dibentuk data baru, yaitu dengan menggunakan bilangan . Nilai dapat dicari dengan rumus:

Variabel (data baru) , ternyata memiliki rata-rata 0 dan simpangan baku 1. Dalam penggunaannya, bilangan sering diubah menjadi distribusi yang baru dengan rata-rata dan simpangan baku Angka yang diperoleh dengan cara itu disebut angka standar atau angka baku, dengan rumus:

Jika dan maka:

Jadi, angka menjadi bilangan standar atau bilangan baku, atau bilangan z.
Contoh :D iketahui data 5, 4, 8, 7, 1. Buatlah data baru dengan menggunakan bilangan buktikan bahwa data baru memiliki rata-rata 0 dan s = 1 !
Penyelesaian: dan

5
4
8
7
1 0
-1
3
2
-4 0
1
9
4
16

Data baru yang terbentuk adalah

Rata-rata dan simpangan bakunya adalah
0
-0,365
1,095
0,730
-1,460 0
-0,365
1,095
0,730
-1,460 0
0,133
1,199
0,533
2,132
jumlah 4 (dibulatkan)
Contoh soal:
Dua perusahan A dan B masing-masing memperoleh laba sebesar Rp45.000,00 dan Rp37.500,00 dalam bulan yang sama. Jika laba rata-rata perusahaan A sebesar Rp32.000,00 dengan simpangan baku Rp8.500,00 dan perusahaan B sebesar Rp26.000,00 dengan simpangan baku Rp5.500,00 perusahaan manakah yang memiliki prestasi lebih baik?

Jawab:

Dengan memperhatikan bilanan pada masing-masing perusahaan, dapat diambil kesimpulan bahwa perusahaan B memiliki prestasi yang lebih baik daripada perusahaan A. hal itu disebabkan nilai untuk berusahaan B lebih besar daripada nilai untuk perusahaan A. Jika nilai-nilai di atas diubah ke dalam angka baku dengan rata-rata Rp29.000,00 dan simpangan baku Rp7.000,00 maka:
Untuk perusahaan

Untuk perusahaan

Jadi, berdasarkan distribusi baru di atas, perusahaan B memperlihatkan nilai yang lebih tinggi (Rp43.630,00) dibandingkan dengan perusahaan A (Rp39.710,00).
Evaluasi Pertemuan 6, Pertemuan 7 dan Pertemuan 8
1. Apa yang dimaksud dengan:
• Jangkauan dan jangkauan antarkuartil
• Dispersi absolut dan dispersi relatif.
• Varians dan simpangan baku.
• Koefisien variasi

2. Terangkah dengan singkat kegunaan dari ukuran dispersi absolut dan dispersi relatif!

3. a. Apa yang dimaksud dengan derajat kemiringan distribusi data?.
b. Sebutkan jenis-jenis derajat kemiringan distribusi data?.
c. Berikan penjelasan mengenai keterkaitan antara derajat kemiringan distribusi
data dengan letak rata-rata hitung, median dan modus?.
d. Sebutkan beberapa cara untuk menghitung derajat kemiringan distribusi data?
4. a. Apa yang dimaksud dengan kurtosis?.
b. Sebutkan dan jelaskan jenis-jenis derajat keruncingan distribusi data?.
5. Diketahui dua kelompok data berikut:
Kelompok data 1 : 7, 4, 10, 9, 15, 12, 12, 7, 9, 7
Kelompok data 2 : 8, 11, 4, 3, 2, 5, 10, 6, 4, 1, 10, 8, 12, 6, 5, 7
Untuk masing-masing kelompok data tersebut:
a. Tentukanlah:
(1) Simpangan rata-rata;
(2) Variansi;
(3) Standar deviasi;
(4) Koefisien variasi!
b. Tentukanlah derajat kemiringan distribusi data tersebut dan jenis kemiringan dengan cara berikut:
(1) Koefisien kemiringan Pearson
(2) Koefisien kemiringan momen berderajat tiga
(3) Koefisien kemiringan Bowley

4. Jumlah kecelakaan pada pabrik ditunjukkan pada tabel berikut.
Rata-Rata Kecelakaan Jumlah Pabrik
1,5 – 1,7
1,8 – 2,0
2,1 – 2,3
2,4 – 2,6
2,7 – 2,9
3,0 – 3,2 3
12
14
9
7
5
Jumlah 50

a. Tentukan koefisien variasinya!
b. Tentukan kemencengan dan jenis kurvanya!
c. Tentukan keruncingan dan jenis kurvanya!

5. Tentukan jarak, simpangan kuartil, deviasi rata-rata, varians, dan simpangan baku dari data-data berikut!
a. 7, 4, 5, 3, 8, 6, 7
b. 8,772; 6,453; 10,163; 8,542; 9,635; 6,325
c. -3, -2, -5, -6, -8, -1, -3, -7
d. .
Kelas Frekuensi
600 – 699
700 – 799
800 – 899

5
15
24
46
33
16
11

6. Seorang pengamat ekonomi ingin meneliti dampak krisis ekonomi terhadap pendapatan masyarakat di Kabupaten Pasuruan. Untuk itu diambil sampel secara acak masing-masing sebanyak 16 rumah tangga di dua desa dan ditanya berapa pendapatan per minggunya. Data hasil penelitian di dua desa tersebut (dalam ribuan rupiah) adalah sebagai berikut:
Penduduk desa I : 19 18 18 19 18 19 19 18
18 19 17 20 16 17 22 18
Penduduk desa II: 18 17 17 18 18 17 18 17
17 18 18 19 20 21 20 17
Berdasarkan data tersebut, tentukanlah:
a. Rata-rata dan standar deviasi pendapatan rumah tangga di desa tersebut.
b. Koefisien variasi dua kelompok data tersebut.
c. Penduduk desa mana yang mempunyai pendapatan lebih merata.

7. Sebuah lampu pijar memiliki rata-rata pemakaian 3.500 jam dengan simpangan baku 1.050 jam. Lampu pijar lain memiliki rata-rata pemakaian 9.000 jam dengan simpangan baku 2.000 jam.
a. Tentukan koefisien variasi kedua lampu tersebut!
b. Yang manakah dari kedua lampu itu yang memiliki variasi ketahanan lebih baik?

8. Seorang mahasiswa mendapat nilai 85 pada ujian akhir statistik dengan rata-rata dan simpangan baku kelompok 78 dan 10. Ujian akhir matematika dengan rata-rata dan simpangan baku kelompok masing-masing 82 dan 16, ia mendapat nilai 90. Pada mata ujian manakah, mahasiswa tersebut mencapai kedudukan lebih baik?

9. Dari data berikut : 2, 8, 10, 4, 1
a. Buat data baru dengan menggunakan bilangan Z !
b. Buktikan bahwa data baru memiliki rata-rata 0 dan simpangan baku 1 !

10. Dua kelompok mahasiswa, kelompok I sebanyak 16 orang dan kelompok II sebanyak 15 orang, mendapat nilai statistik I, sebagai berikut:
Kelompok I = 25 30 45 48 50 60 65 70 74 78 80 85 91 92 94 95
Kelompok II = 20 36 45 50 50 51 52 54 60 65 66 68 67 80 95
Periksalah, apakah di antara kedua kelompok nilai tersebut terdapat nilai pencilan?

11. Apabila:

Tentukan

12. Dengan menggunakan distribusi frekuensi berikut:
Kelas Frekuensi
0 – 4
5 – 9
10 – 14
15 – 19
20 – 24 2
7
12
6
3

a. Tentukan jaraknya.
b. Hitung deviasi standarnya.
c. Berapa variansnya.

13. Dengan menggunakan data soal Nomor 12.
a. Berapa nilai kuartil pertama.
b. Berapa nilai kuartil ketiga.
c. Berapa jarak inter-kuartil.
d. Berapa deviasi kuartilnya.

14. Dengan menggunakan data soal nomor 12.
a. Berapa nilai koefisien variasinya.
b. Berapa nilai koefisien kemiringannya.
c. Berapa nilai koefisien keruncingannya.
Soal nomor 15 – 18 didasarkan pada statistik hasil pengukuran daya regangan kawat 2 perusahaan A dan B sebagai berikut:
Statistik Perusahaan A Perusahaan B
Rata-rata hitung 500 600
Median 500 500
Modus 500 300
Deviasi standar 40 20
Deviasi rata-rata 32 16
Deviasi kuartil 25 14
Jarak 240 120
Banyaknya sampel 100 80

15. Berapa nilai koefisien variasi perusahaan A dan B?.

16. Distribusi perusahaan mana yang mempunyai dispersi yang besar? Jelaskan.

17. Berapa varians distribusi perusahaan A dan B?.

18. 50 % kawat perusahaan A, kira-kira berada di antara dua nilai berapa?.

19. Persentase penduduk berumur 10 tahun ke atas yang bekerja menurut jam kerja selama seminggu.
Jam Kerja Persentase
0 – 9
10 – 19
20 – 29
30 – 39
40 – 49
50 – 59
60 – 69 2
6
22
27
23
15
5

a. Carilah rata-rata, median, dan modus jam kerja.
b. Hitung tingkat kemiringan dan keruncingan.

20. Perhatikan tabel berikut !
Nilai
31 – 40
41 – 50
51 – 60
61 – 70
71 – 80
81 – 90
91 – 100 1
2
5
15
25
20
12 35,5
45,5
55,5
65,5
75,5
85,5
95,5
Jumlah 80 -

Buatlah nilai ujian menjadi angka baku!

21. Tentukan kemencengan dan keruncingan distribusi frekuensi berikut, gunakan rumus koefisien kemencengan momen!
Berat Badan Frekuensi
35 – 39
40 – 44
45 – 49
50 – 54
55 – 59
60 – 64
65 – 69 4
9
12
10
9
8
3

About these ads

Single Post Navigation

Tinggalkan Balasan

Please log in using one of these methods to post your comment:

WordPress.com Logo

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Twitter picture

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Facebook photo

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Google+ photo

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

Ikuti

Get every new post delivered to your Inbox.

%d bloggers like this: